Polinomio de hermite (por Elía)

Voy a ver si logro poner un ejemplo:

Sea f(x)=x^8+1
y los valores:
f(-1), f'(-1), f''(-1), f(0), f'(0), f''(0), f(1), f'(1), f''(1)


Hallamos la tabla:
-1 2
-1 2 -8
-1 2 -8 28
0 1 -1 7 -21
0 1 0 1 -6 15
0 1 0 0 -1 5 -10
1 2 1 1 1 1 -2 4
1 2 8 7 6 5 2 2 -1
1 2 8 28 21 15 10 4 1 1

Veamos:

1ª columna son los puntos

2ª columna son los valores de los puntos

3ª columna

-8=(f'(-1))/1!=8(x^7)=8(-1)
-1=(1-2)/(0-(-1))
0=(f'(0))/1!=8(x^7)=8(0)
1=(2-1)/(1-0)
8=...=8(x^7)=8(1)

4ªcolumna

28=(f''(-1))/2!=56(x^6)/2!=56(1)/2
7=(-1-(-)/(0-(-1)
1=(0-(-1))/(0-(-1)
0=(f''(0))/2!=56(x^6)/2!=56(0)/2
1=(1-0)/(1-0)
7=(8-1)/(1-0)
28=(f''(1))/2!=56(x^6)/2!=56(1)/2


5ªcolumna

-21=(7-2/(0-(-1))
-6=(1-7)/(0-(-1))
-1=(0-1)/(0-(-1))
1=(1-0)/(1-0)
6=(7-1)/(1-0)
21=(28-7)/(1-0)

6ªcolumna

15=(-6-(-21))/(0-(-1))
5=(-1-(-6))/(0-(-1))
1=(1-(-1))/(1-(-1))
5=(6-1)/(1-0)
15=(21-6)/(1-0)

7ªcolumna

-10=(5-15)/(0-(-1))
-2=(1-5)/(1-(-1))
2=(5-1)/(1-(-1))
10=(15-5)/(1-0)

8ªcolumna

4=(-2-(-10))/(1-(-1))
2=(2-(-2))/(1-(-1))
4=(10-2)/(1-0)

9ªcolumna

-1=(2-4)/(1-(-1))
1=(4-2)/(1-(-1))



10ªcolumna

1=(1-(-1))/(1-(-1))

Y el polinomio sería:

P(x) = 2 - 8(x + 1) + 28(x + 1)^2 - 21(x + 1)^3 + 15x(x + 1)^3 -
10x^2(x + 1)^3 + 4x^3(x + 1)^3 - 1x^3(x + 1)^3(x - 1) + x^3(x + 1)^3(x
- 1)^2